Аннуитетные платежи
С помощью калькулятора производится расчет аннуитетных платежей по схеме постнумерандо и пренумерандо. Имеется возможность вычислить вечную и отложенную ренты.Поток платежей характеризуется следующими параметрами: размер отдельного платежа, R; срок ренты, n; процентная ставка, i; число p платежей (взносов) в году; частота m начисления процентов.
Если выплаты ежегодные, то такой поток платежей называются аннуитетом, если платежи производятся несколько раз в году - рентой.
Здесь будет показано решение
Алгоритм решения задач
- Определить, что требуется найти: наращенную сумму или современную (приведенную) стоимость.
- Если необходимо найти наращенную сумму (будущую стоимость аннуитета), то определяем временной фактор поступления платежей: в начале (пренумерандо) или в конце периода (постнумерандо).
Схема постнумерандо
Рента обычная или постнумерандо: платежи производятся в конце периода.Современная стоимость потока платежей А - это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока.
| Количество платежей | Количество начислений | S | A |
| p=1 | m=1 | R·(1+j)n−1j | R·1−(1+j)−nj |
| m>1 | R·(1+jm)m·n−1(1+jm)m−1 | R·1−(1+jm)−m·n(1+jm)m−1 | |
| p>1 | m=1 | Rp·(1+j)n−1(1+j)1p−1 | Rp·1−(1+j)−n(1+j)1p−1 |
| m=p | R·(1+jm)m·n−1j | R·1−(1+jm)−m·nj | |
| m≠p | Rp·(1+jm)m·n−1(1+jm)mp−1 | Rp·1−(1+jm)−m·n(1+jm)mp−1 |
Примеры задач по схеме постнумерандо
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.- Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты n пять лет, разовый платеж R = 4000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке j = 8% годовых.
Решить аналогичную
Платежи поступают в начале года (схема пренумерандо), периодичность взноса ренты p =1, проценты начсляются раз в год, m = 1.
Будущая (наращенная) стоимость ренты: S=R·(1+j)n−1j
S=4 000·(1+0,08)5−10,08 = 23 466,40 руб.
Современная стоимость аннуитета: A=R·1−(1+j)−nj
A=4 000·1−(1+0,08)−50,08 = 15 970,84 руб. - Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс.руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс.руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.
Решить аналогичную
Найдем срок аннуитета: n=ln(SR·i+1)ln(1+i)
n=ln(20050·0,15+1)ln(1+0,15) = 3,363 года
Схема пренумерандо
Рента пренумерандо: платежи производятся в начале периода.Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (l+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
Spre = S·(1+i)
где S - наращенная сумма ренты постнумерандо.
Современные величины рент пренумерандо рассчитываются аналогично, т.е.:
Apre = A·(1+i)
Если проценты начисляются по номинальной процентной ставке j, а выплаты производятся р раз в году, современная и наращённая стоимость ренты пренумерандо будет равна:
Apre=A·(1+jm)mp
Spre=S·(1+jm)mp
Если платежи ренты производятся в середине периода:
Apre=A·(1+jm)m2p
Spre=S·(1+jm)m2p
Примеры задач по схеме пренумерандо
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.Вечная рента (бессрочный аннуитет)
A=RjДля общего случая ренты, когда число рентных платежей р>1, современная стоимость: A=Rp·1(1+jm)mp−1
Примеры задач по схеме вечной ренты
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.- Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением R = 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен j = 10% годовых.
Решить аналогичную
Текущая стоимость аннуитета составит: A = R/j = 400/0,1 = 4000 руб. - Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере R = 20 руб. дважды в год в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла j = 5% годовых. Определить сумму,подлежащую выплате на каждую облигацию.
Решить аналогичную
Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа: A=402·1(1+0,05)12−1 = 809,88 руб.
Отложенная рента
Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:At=A·1(1+i)t
где А — современная величина немедленной ренты.
Примеры задач по схеме отложенной рента
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.- Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 25 тыс.руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.
Решить аналогичную
Современная стоимость немедленной ренты: R·1−(1+j)−nj
A = 25·1−(1+0,1)−30,1 = 62,171 тыс.руб.
Современная стоимость отложенной ренты: At=A·1(1+i)t
A2=62,171·1(1+0,1)2 = 51,381 тыс.руб.
Список источников
- Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
- Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. - 5-е перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2010. - 144 с.