Простые и сложные проценты
С помощью калькулятора вычисляются параметры финансовых операций по простой и сложной банковской ставке (см. также вычисления при учетной ставке).Здесь будет показано решение
Простые проценты
На практике применяются три варианта расчета простых процентов:
Наращение основной суммы: - точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Обозначается как 365/365 или АТС/АТС.
- обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Обозначается как 365/360 или АТС/360.
- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Обозначается как 360/360.
По схеме 360 количество дней к году принимается равным 360 (в каждом месяце по 30 дней).
Пример. Определить приближённое число дней между 12.02.2019 и 27.08.2020.
Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое число дней рассчитывается следующим образом:n = 360*(y2-y1)+30*(m2-m1)+(d2-d1)
где y - номер года, m - номер месяца в году, d - номер дня в месяце.
n = 360*(2020-2019)+30*(8-2)+(27-12) = 555 дней
S = P(1+i*n)
где P - исходная сумма, i - проценты, n - количество лет.
Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет:
S=P·(1+tT·i)
где t - срок в днях, T - временная база (365 или 360)
Примеры задач на простые проценты
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.- Ссуда в размере P = 1 млн.руб. выдана d1 = 20.01 до d2 = 05.10 включительно под i = 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды.
Решить аналогичную
Начальная дата: 20.01, конечная дата: 05.10, количество дней между датами: 258
Январь, 11 дней: с 21.01 по 31.01
Февраль, 28 дней: с 01.02 по 28.02
Март, 31 день: с 01.03 по 31.03
Апрель, 30 дней: с 01.04 по 30.04
Май, 31 день: с 01.05 по 31.05
Июнь, 30 дней: с 01.06 по 30.06
Июль, 31 день: с 01.07 по 31.07
Август, 31 день: с 01.08 по 31.08
Сентябрь, 30 дней: с 01.09 по 30.09
Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
Итого: 11 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 5 = 258
S=P·(1+tT·i)
1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
S=1 000 000·(1+258365·0.18)=1 127 232.88 руб.
2) Обыкновенные проценты с точным числом дней (365/360)
S=1 000 000·(1+258360·0.18)=1 129 000 руб.
3) Обыкновенные проценты с приближённым числом дней (360/360)
Количество дней между датами: 255
Январь, 10 дней: с 21.01 по 30.01
Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь по 30 дней
Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
Итого: 10 + 30*8 + 5 = 255
S=1 000 000·(1+255360·0.18)=1 127 500 руб. - Через d = 180 дней после подписания договора должник уплатит S = 310 тыс.руб. Кредит выдан под i = 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
Решить аналогичную
P=S(1+tT·i)
Находим современную стоимость P=310 000(1+180365·0.16) = 287 328.59 руб.
Сложные проценты
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.Сложная процентная ставка наращения - это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:
S=P·(1+i)n
Если в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц (m=12), квартал (m=4) или другой период, то наращенная сумма определяется по формуле:
S=P·(1+im)m·n
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом:
S = P·(1+i)[n]·(1+{n}·i)
где [n] - целая часть числа; {n} - дробная часть числа n.
Современная стоимость Р величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле:
P=S(1+i)n
Примеры задач на сложные проценты
- Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
Решить аналогичную
1) Сложные проценты начисляются раз в год:S = 1 000 000·(1+0.155)5 = 2 055 464,22 руб
2) Сложные проценты начисляются два раза в год:
S=1 000 000·(1+0,1552)2·5 = 2 109 467,26 руб.
3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):
S=1 000 000·(1+0,1554)4·5 = 2 139 049,01 руб.
4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):
S=1 000 000·(1+0,15512)12·5 = 2 159 847,20 руб. - Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
Решить аналогичную
P=S(1+i)n
P=1 000 000(1+0,1)5 = 620 921,32 руб.
Если проценты начислялись ежеквартально.
P=S(1+im)m·n
P=1 000 000(1+0,14)4·5 = 610 270,94 руб. - Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года (n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
Решить аналогичную
P=S(1+i)n
P=20 000(1+0,08)4 = 14 568,92 руб.
Если проценты начислялись ежеквартально.
P=S(1+im)m·n
P=20 000(1+0,084)4·4 = 14 570 руб. - За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку i=35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. . Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) ; б) ; в) ?
Количество дней в : T=365.
а) ;
Эта дата ранее , поэтому речь идет о поиске исходной суммы P (S=30000). Количество дней между и составляет d=181 дн..
б) ;
Эта дата позже , поэтому находим наращенную сумму S (P=30000). d1=01.07.1997 и d2=01.01.1998.
в)
Количество лет между и составляет n=2 года.
S=P·(1+i)n=30000·(1+0.35)2 = 54 675 руб.
Список источников
- Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
- Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. - 5-е перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2010. - 144 с.